2017高中数学联赛加试压轴题（组合数论）剖析
【注】为方便复制编辑，特提供纯文本如下：
2017高中数学联赛加试压轴题（组合数论）剖析
冯跃峰
2017年全国高中数学联赛加试压轴题是一道组合数论题，题目如下：
【题目】设m、n均是大于1的整数，m≥n，又a1，a2，…，an是n个不超过m的互不相同正整数，且（a1，a2，…，an）=1。试证：对任意实数x，均存在ai（1≤i≤n），使得||aix||≥2||x||/[m（m+1）]，这里||y||表示实数y到与它最近的整数的距离。
【题感】从目标看，属于“在多个数a1，a2，…，an中找一个数ai，使||aix||具有题给性质”的问题，这通常可用整体思考：考虑所有的||aix||（1≤i≤n），然后构造整体函数W=f（||a1x||，…，||anx||），通过研究W的性质找到相应的||aix||。
如何构造整体函数W（常见的是和或积）？这当然要利用题给条件，其中最主要的条件是（a1，a2，…，an）=1，它与整体函数密切相关。
由此想到裴蜀定理：p1a1+ p2a2+…+ pnan=1。所以选择整体函数为“和”的形式，这只需在上式中凑配||aix||。
【结构联想】因为（a1，a2，…，an）=1，由裴蜀定理，存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1。
【构造相同】于是，对任意实数x，有Σi=1npiaix=x，所以
||Σi=1npiaix||=||x||……（*）
【瞄准目标】我们要证明：||x||≤[m（m+1）||aix||]/2……（**）
为了构造||aix||，想到（*）式左端的距离符号放入求和运算的每一项中，这就要研究对u、v∈R，||u+v||与||u||、||v||的关系。不难发现如下的
引理1：对u、v∈R，||u+v||≤||u||+||v||。
证明：因为对任何整数k及实数x，有||x+k||=||x||，所以不妨设-1/2≤u，v≤1/2。
又由定义||-x||=||x||，所以不妨设0≤u，v≤1/2，此时与u、v最近的整数都是0，所以||u||=u，||v||=v。
【充分条件分类】如果0≤u+v≤1/2，则将u+v看作一个数，有||u+v||=|u+v|=u+v=||u||+||v||，结论成立。
【解决遗留】如果u+v>1/2，由定义（将u+v看作一个数），||u+v||≤1/2，所以||u+v||≤1/2<u+v=||u||+||v||，结论成立，引理1获证。
由引理1可知，||Σi=1nui||≤Σi=1n||ui||。
再结合||-x||=||x||，对任何k∈Z，x∈R，有||kx||≤|k|·||x||。
于是，由（*）式，有
||x||=||Σi=1npiaix||≤Σi=1n||piaix||≤Σi=1n|pi|·||aix||。
注意目标式含有系数m，瞄准目标，期望|pi|≤m，由此想到裴蜀定理的结果可以优化：限定|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an }≤m（1≤i≤n）。
引理2：如果（a1，a2，…，an）=1，则存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1，且|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an }。
证明：因为（a1，a2，…，an）=1，由裴蜀定理，存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1。
【逐步调整】如果存在pi（1≤i≤n），使得|pi|>a，不妨设|p1|>a，且p1>0。
但Σi=1npiai=1，所以必存在pj（1≤j≤n），使得pj<0，不妨设p2<0。
在等式中添加（-a1a2+a1a2），有
1=p1a1+（-a1a2+a1a2）+p2a2+Σi=3npiai
=（p1-a2）a1+（p2+a1）a2 +Σi=3npiai=Σi=1npi'ai，
其中p1'= p1-a2， p2'= p2+a1，pi'=（3≤i≤n）。
经过一次调整，p1至少减少1，至多减少a，所以调整后p1仍大于0，且p2增加正数a1，其绝对值不增加。
于是，若干次调整后必定使p1的绝对值不大于a，且其他系数的绝对值不增加。
如此下去，可使所有系数的绝对值不大于a，引理2获证。
利用引理2，由前面的结果，得
||x||≤Σi=1n|pi|·||aix||≤Σi=1na·||aix||≤mΣi=1n||aix||。
于是，一定存在ai（1≤i≤n），使得||aix||≥||x||/mn。
【充分条件分类】如果n≤（m+1）/2，则||aix||≥||x||/mn≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。
【解决遗留】如果n>（m+1）/2，此时a1，a2，…，an具有怎样的性质？
——注意此时数很多，但都在区间[1，m]中，数的个数多于区间长度的一半，将出现怎样的现象？
此时a1，a2，…，an中必定有2个相邻自然数，设为a2-a1=1，此时只需考虑小范围的整体函数||a1x||+||a2x||即可！
实际上，由引理1，有||a1x||+||a2x||≥||a2x-a1x||=||x||，
不妨设||a1x||≥||a2x||，则||a1x||≥||x||/2≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。
【新写】先证明如下两个引理。
引理1：对u、v∈R，||u+v||≤||u||+||v||。（证明同上，略）
由引理1可知，||Σi=1nui||≤Σi=1n||ui||。
再结合||-x||=||x||，对任何k∈Z，x∈R，有||kx||≤|k|·||x||。
引理2：存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1，且|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an }。（证明同上，略）
解答原题：如果n>（m+1）/2，但a1，a2，…，an∈[1，m]中，必定有2个相邻自然数，设为a2-a1=1。由引理1，有||a1x||+||a2x||≥||a2x-a1x||=||x||，
不妨设||a1x||≥||a2x||，则||a1x||≥||x||/2≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。
如果n≤（m+1）/2，因为（a1，a2，…，an）=1，存在常数p1，p2，…，pn，使Σi=1npiai=1，且|pi|≤a=max{ a1，a2，…，an }。
于是，对任意实数x，有Σi=1npiaix=x，所以结合引理1，有
||x||≤Σi=1n|pi|·||aix||≤Σi=1na·||aix||≤mΣi=1n||aix||。
于是，一定存在ai（1≤i≤n），使得||aix||≥||x||/mn≥2||x||/[m（m+1）]，结论成立。
J联赛奖金分配史诗级调整！小球队还怎么玩？
据相关人士消息，从2024赛季开始，日本三级职业联赛（J1、J2和J3）全部变更为20队制。这也意味着，在即将到来的2023赛季，J1升降级附加赛将被取消，并且只有一支队伍直接降级，原本22队制的J2获得三个直升名额。JFL的奈良FC和大阪FC将加入J3。预计该方案会在下周进行的理事会上，正式批准。
随着球队数量的调整，各级联赛的奖金分配比例也有变化，并且是以J1排名靠前的俱乐部为起点，倾斜分配。其目的是充实顶级俱乐部的资金，提升顶级联赛的竞技能力，增加更高质量的比赛，从而提高联赛本身的价值。
在刚刚结束的2022赛季，J联赛奖金分配规则为，J1平均每队3.5亿日元，J2平均每队1.5亿日元，J3平均每队3000万日元。而在甲级和乙级奖金分配差距较大的欧洲，西班牙是9:1，德国是6:1，J1和J2只有2.3:1，这也是J联赛各队伍整体实力差距不大，并且从未出现超级豪门的重要原因。预计下赛季，J1的分配金将阶段性地提升至J2的5-6倍。
另外，J1俱乐部之间，也将按照成绩进行奖金阶梯分配。上赛季排名前六的队伍，横滨水手、川崎前锋、广岛三箭、鹿岛鹿角、大阪樱花、东京FC，奖金比例相对较高。反之，成绩靠后的福冈黄蜂、湘南海洋、大阪钢巴、京都不死鸟等队伍，奖金比例相应减少。除此之外，上座率和收视率等因素，也将影响奖金的分配规则。可以这么说，J联赛将真正进入弱肉强食的时代。
举个例子，2019年J1和J2总计40支俱乐部，分配金额为128.9亿日元，其中94.39亿日元给了18支J1队伍，剩下的34.51亿日元给了22支J2队伍，大概是3:1的分配比。如果计算平均值，J1每队得到5.24亿日元，J2每队得到1.57亿日元。虽然两级联赛存在不小的差距，好在是可以接受的区间，但在新的奖金制度下，差距将进一步拉大。当然，在不受疫情影响的前提下，J联赛的总收入几乎不会有变化，分配总额也不会有很大的波动。
这是J联赛主席野野村芳和上任之后，作出的第一项重大改革。资源进一步向一级联赛倾斜，J1的整体竞争力将会得到提升。但对J2和J3的队伍来说，就是生死存亡的问题了。J联赛能否像以前一样，持续健康发展，相信很多人持怀疑态度。
按照野野村芳和的说法，J联赛中应该有一到两支，甚至多支在人气、实力和资金方面有所突破的俱乐部，并且在亚冠和世俱杯上拿到冠军。这样的想法其实完全可以理解，但事实上，在2017年DAZN拿下J联赛转播权之后，俱乐部之间的奖金分配比已经越拉越大，此时更加照顾J1，将进一步压缩低级别球队的生存空间。要知道，2016年J1和J2总计40支俱乐部总奖金只有60.2亿日元。而到了2017年，也就是DAZN元年，奖金直接提升至117.95亿日元，相比前一年直接翻了一倍。其中大部分提升的奖金，都落入了J1俱乐部手中，J2和J3的涨幅很有限。
数据显示，2017年至2021年这五年间，川崎前锋总计分到了55.66亿日元，排名J联赛第一，比第二的鹿岛鹿角（35.39亿日元）多拿了约20亿日元。排名第三的是30.85亿日元的横滨水手。同在J1的鸟栖砂岩，只有可怜的19.29亿日元，甚至不到川崎前锋的1/3。J1球队之间的贫富差距已经开始显现，更不用说J2和J3了。
另一方面，如果从J1降级的话，降级队伍第一年可以拿到比J2球队多一倍左右的分配金。比如，2017赛季降级的新潟天鹅、大宫松鼠和甲府风林，均在第二年获得了约2.9亿日元，而其他J2俱乐部的奖金，基本在1.5-1.6亿日元之间。但是，这项规则只在降级的第一年有效，如果第二年还是没有升级，奖金就会大幅减少。因此，在J2待的时间越长，与一直在J1的球队相比，得到的分配金数额就会有很大的差距。如果能像2017年的名古屋鲸八和2019年的柏太阳神那样，降级之后第二年就打回来的，对球队收入的影响其实很小。当然，这里的分配金不包括赞助和门票收入。
如果最新的分配金调整方案最终落地，J联赛的氛围将会有明显变化，弱队很难有出头的机会，强队则是越来越强。为了照顾低级别俱乐部的情绪，野野村芳和同时表示，从下赛季开始，将向积极启用年轻球员的队伍支付育成奖金。其实早在2020年就已经有这个概念，如果U21球员出场时间达标，该J2和J3俱乐部将分别获得300万和200万日元，但由于疫情的关系，这项规则在2021年被废除。事实上，就算拿到了这笔奖金，对大部分生存困难的俱乐部来说，只不过是杯水车薪。
